Bài tập 14, § 5

Một nhóm các phép hoán vị $\Gamma$ của một tập hợp E được gọi là $r$-bắc cầu nếu, với mọi hai dãy $(a_1, a_2, \ldots, a_r), (b_1, b_2, \ldots, b_r)$ gồm $r$ phần tử phân biệt của E, tồn tại một phép hoán vị $\sigma \in \Gamma$ sao cho $\sigma(a_i) = b_i$ với $1 \leq i \leq r$, và tính chất này không còn đúng đối với ít nhất một cặp có thứ tự gồm các dãy có $r + 1$ phần tử phân biệt của E.

(a) Chứng minh rằng một nhóm $r$-bắc cầu là nguyên thủy nếu $r > 1$.

(b) Cấp của một nhóm các phép hoán vị $\Gamma$ tác động trên $n$ đối tượng mà là $r$-bắc cầu có dạng $n(n-1) \ldots (n-r+1)d$, trong đó $d$ là một ước của $(n-r)!$ (xét một nhóm con của các phép hoán vị của $\Gamma$ để bất biến $r$ phần tử và tính chỉ số của nó).