Exercice 15, § 5

Soit $\Gamma$ un groupe de permutations r fois transitif d’un ensemble E de n éléments; pour une permutation $\sigma \in \Gamma$, distincte de la permutation identique, soit $n - s$ le nombre d’éléments de E invariants par $\sigma$. Si $s > r$, montrer qu’il existe une permutation $\tau \in \Gamma$ telle que $\sigma^{-1}\tau\sigma\tau^{-1}$ soit distincte de la permutation identique, et que le nombre d’éléments de E qu’elle laisse invariants soit $\geq n - 2(s - r + 1)$ (utiliser la décomposition de $\sigma$ en ses cycles composants). Si $s = r$, montrer de même qu’il existe $\tau \in \Gamma$ telle que $\sigma^{-1}\tau\sigma\tau^{-1}$ soit un cycle d’ordre 3. En déduire que, si $r \geq 3$, et si $\Gamma$ ne contient pas le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$, on a $s \geq 2r - 2$ pour toute permutation de $\Gamma$ (utiliser l’exerc. 10 de I, p. 130). Conclure finalement que, si $\Gamma$ n’est pas identique à $\mathfrak{A}_n$ ou à $\mathfrak{S}_n$, on a $r \leq \frac{n}{3} + 1$.