Bài tập 15, § 5

Cho $\Gamma$ là một nhóm các phép hoán vị $r$-bắc cầu của một tập hợp E có $n$ phần tử; với một phép hoán vị $\sigma \in \Gamma$ phân biệt với phép hoán vị đồng nhất, gọi $n - s$ là số phần tử của E bất biến dưới $\sigma$. Nếu $s > r$, hãy chứng minh rằng tồn tại một phép hoán vị $\tau \in \Gamma$ sao cho $\sigma^{-1} \tau \sigma \tau^{-1}$ phân biệt với phép hoán vị đồng nhất và số phần tử của E mà nó để bất biến là $\geq n - 2(s - r + 1)$ (dùng sự phân tích của $\sigma$ thành các chu trình thành phần của nó). Nếu $s = r$, cũng hãy chứng minh tương tự rằng tồn tại $\tau \in \Gamma$ sao cho $\sigma^{-1} \tau \sigma \tau^{-1}$ là một chu trình cấp 3. Suy ra rằng, nếu $r \geq 3$ và $\Gamma$ không chứa nhóm phản xứng $\mathfrak{A}_n$, thì $s \geq 2r - 2$ đối với mọi phép hoán vị trong $\Gamma$ (dùng Bài tập 10). Cuối cùng kết luận rằng, nếu $\Gamma$ không đồng nhất với $\mathfrak{A}_n$ hoặc $\mathfrak{S}_n$, thì $r \leq n/3 + 1$.