Exercice 19, § 5

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et G/H l’ensemble des classes à gauche (mod. H) dans G. Soit $r : G/H \to G$ une section associée à la projection canonique $G \to G/H$. Pour tout $X \in G/H$, on a donc $X = r(X).H$. On définit sur $G/H$ une loi de composition en posant $X \top Y = r(X)r(Y).H$.

a) Montrer que l’on a $X \top H = X$ quel que soit $X$, et que, pour la loi $\top$, toute translation à gauche est bijective. Si $G'$ est le sous-groupe de $G$ engendré par l’ensemble des éléments $r(X)$, et $H' = H \cap G'$, la loi de composition définie d’une manière analogue sur $G'/H'$ par l’application $r$ détermine sur cet ensemble une structure isomorphe à celle déterminée sur $G/H$ par la loi $\top$.

b) Pour que la loi $\top$ soit associative, il faut et il suffit que $H'$ soit un sous-groupe distingué de $G'$, auquel cas la structure déterminée par $\top$ est isomorphe à la structure du groupe quotient $G'/H'$ (pour voir que la condition est nécessaire, montrer d’abord, à l’aide de I, p. 124, exerc. 2a), que si $\top$ est associative, elle détermine sur $G/H$ une structure de groupe; désignant par $K$ le plus grand sous-groupe distingué de $G'$ contenu dans $H'$, montrer ensuite, en écrivant la condition d’associativité pour $\top$, que $(r(X \top Y))^{-1}r(X)r(Y) \in K$ quels que soient $X, Y$; en déduire que l’application $X \mapsto r(X).K$ est un isomorphisme du groupe $G/H$ (pour la loi $\top$) sur le groupe quotient $G'/K$; conclure que $H' = K$, en remarquant que $H'$ est une réunion de classes mod. $K$.

c) Inversement, on suppose donnée, sur un ensemble $E$, une loi de composition $\top$, telle que toute translation à gauche soit bijective et qu’il existe $e \in E$ tel que $x \top e = x$ pour tout $x \in E$. Soit $\Gamma$ le groupe de permutations de $E$ engendré par les translations à gauche $\gamma_x$, $\Delta$ le sous-groupe des permutations de $\Gamma$ laissant invariant $e$; montrer qu’à toute classe à gauche $X$ modulo $\Delta$, il correspond un élément et un seul $x \in E$ tel que $\gamma_x \in X$; si on pose $r(X) = \gamma_x$, l’application $x \mapsto \gamma_x$ est un isomorphisme de l’ensemble $E$, muni de la loi $\top$, sur l’ensemble $\Gamma/\Delta$, muni de la loi $(X, Y) \mapsto r(X)r(Y).\Delta$.