Bài tập 19, § 5

Cho G là một nhóm, H là một nhóm con của G và G/H là tập hợp các lớp ghép trái (mod. H) trong G. Cho $r : G/H \to G$ là một tiết diện liên kết với phép chiếu chính tắc $G \to G/H$. Khi đó, với mọi $X \in G/H$, $X = r(X).H$. Một luật hợp thành nội tại được xác định trên G/H bằng cách đặt $X \circ Y = r(X)r(Y).H$.

(a) Chứng minh rằng $X \uparrow H = X$ với mọi $X$ và đối với luật $\uparrow$, mọi phép tịnh tiến trái đều song ánh. Nếu $G'$ là nhóm con của $G$ được sinh bởi tập hợp các phần tử $r(X)$ và $H' = H \cap G'$, thì luật hợp thành nội tại được xác định tương tự trên $G'/H'$ bởi ánh xạ $r$ xác định trên tập hợp này một cấu trúc đẳng cấu với cấu trúc được xác định trên $G/H$ bởi luật $\uparrow$.

(b) Để luật $\uparrow$ là kết hợp, điều kiện cần và đủ là $H'$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G'$, khi đó cấu trúc được xác định bởi $\uparrow$ đẳng cấu với cấu trúc của nhóm thương $G'/H'$ (để thấy rằng điều kiện là đủ, trước hết chứng minh, với sự trợ giúp của § 4, Bài tập 2(a), rằng nếu $\uparrow$ là kết hợp thì nó xác định trên $G/H$ một cấu trúc nhóm; ký hiệu $K$ là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của $G'$ được chứa trong $H'$, khi đó, sử dụng điều kiện tính kết hợp của $\uparrow$, chứng minh rằng $(r(X \uparrow Y))^{-1} r(X) r(Y) \in K$ với mọi $X, Y$; suy ra rằng ánh xạ $X \mapsto r(X).K$ là một đẳng cấu của nhóm $G/H$ (với luật $\uparrow$) lên nhóm thương $G'/K$; kết luận rằng $H' = K$, lưu ý rằng $H'$ là một hợp các lớp ghép mod. $K$.

(c) Ngược lại, giả sử trên một tập hợp $E$ cho một luật hợp thành nội tại $\uparrow$ sao cho mọi phép tịnh tiến trái đều song ánh và tồn tại $e \in E$ sao cho $x \uparrow e = x$ với mọi $x \in E$. Cho $\Gamma$ là nhóm các phép hoán vị của $E$ được sinh bởi các phép tịnh tiến trái $\gamma_x$ và $\Delta$ là nhóm con các phép hoán vị trong $\Gamma$ giữ bất biến $e$; chứng minh rằng với mỗi lớp ghép trái $X$ modulo $\Delta$ tương ứng duy nhất một phần tử $x \in E$ sao cho $\gamma_x \in X$; nếu viết $r(X) = \gamma_x$, thì ánh xạ $x \mapsto \gamma_x$ là một đẳng cấu của tập hợp $E$ với luật $\uparrow$ lên tập hợp $\Gamma/\Delta$ với luật $(X, Y) \mapsto r(X)r(Y).\Delta$.