Exercice 23, § 5

a) Soit $s$ un élément d’ordre 2 du groupe $\mathfrak{S}_n$, produit de $k$ transpositions $t_1, \ldots, t_k$ à supports mutuellement disjoints. Montrer que le centralisateur $C_s$ de $s$ dans $\mathfrak{S}_n$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_{n-2k} \times A$, où $A$ admet un sous-groupe distingué $B$ d’ordre $2^k$ tel que $A/B$ soit isomorphe à $\mathfrak{S}_k$ (observer que tout élément de $C_s$ permutte entre eux les points fixes de $s$ ainsi que les supports de $t_1, \ldots, t_k$).

b) Montrer que, si $n = 5$, ou $n \geq 7$, tout élément d’ordre 2 de $\mathfrak{S}_n$ dont le centralisateur est isomorphe à celui d’une transposition est une transposition (comparer les quotients de Jordan-Hölder de ces centralisateurs, en utilisant l’exerc. 16 de I, p. 131). En déduire que tout automorphisme de $\mathfrak{S}_n$ permutte entre elles les transpositions.

c) Si $a, b$ sont des éléments distincts de $\{1, n\}$, on désigne par $F_a$ (resp. $F_{ab}$) le stabilisateur de $a$ (resp. le fixateur de $\{a, b\}$) dans $\mathfrak{S}_n$, et par $(a\ b)$ la transposition $\tau_{a,\ b}$. Soient $a, b, c, d$ des éléments tous distincts de $\{1, n\}$. Montrer que, si $n \geq 5$, le groupe engendré par $F_{ab}$ et $F_{cd}$ est $\mathfrak{S}_n$ (on montrera que ce groupe contient toutes les transpositions; pour cela, on utilisera le fait que, si $x \in \{1, n\} - \{a, b, c, d\}$, on a $(a\ c)(a\ x)(c\ x) = (c\ x)(a\ x)(c\ x)$). Montrer que le groupe engendré par $F_{ab}$ et $F_{ac}$ est $F_a$ (utiliser la même égalité que dans le cas précédent).

d) Montrer qu’un automorphisme $\alpha$ de $\mathfrak{S}_n$ tel que $\alpha(F_a) = F_a$ pour tout $a \in \{1, n\}$ est l’identité (montrer que $\alpha$ transforme toute transposition en elle-même). Montrer que, s’il existe a ∈ {1, n} tel que $\alpha(F_a) = F_a$, $\alpha$ est intérieur (montrer qu’il existe un automorphisme intérieur $\beta$ tel que $\beta \circ \alpha$ transforme chacun des groupes $F_b$ pour $b \in \{1, n\}$, en lui-même). e) Soient $a, b$ deux éléments distincts de $\{1, n\}$, et soit $C_{ab}$ le centralisateur de $(a\ b)$ dans $S_n$. Montrer que, si $n \geqslant 5$, le groupe dérivé de $C_{ab}$ est d’indice 4 dans $C_{ab}$ (utiliser le fait que le groupe dérivé de $S_{n-2}$ est $A_{n-2}$). Montrer que $F_{ab}$ est l’unique sous-groupe d’indice 2 de $C_{ab}$ qui ne contient pas $(a\ b)$ et n’est pas contenu dans $A_n$. f) Montrer que, si $n \geqslant 5$, un automorphisme $\alpha$ de $S_n$ qui laisse fixe une transposition $(a\ b)$ est intérieur. (Montrer, au moyen de e), que $\alpha(F_{ab}) = F_{ab}$; montrer également que, si $c \notin \{a, b\}$, $\alpha(F_{ac})$ est soit de la forme $F_{ax}$, où $x \notin \{a, b\}$, soit de la forme $F_{bx}$, où $x \notin \{a, b\}$; dans le premier cas, en conclure que $\alpha(F_a) = F_a$ et appliquer d); ramener le second cas au premier en multipliant $\alpha$ par l’automorphisme intérieur de $S_n$ défini par $(a\ b)$. g) Déduire de b) et f) que tout automorphisme de $S_n$ est intérieur si $n = 5$ ou $n \geqslant 7$.