Bài tập 23, § 5

(a) Cho $s$ là một phần tử cấp 2 trong nhóm $\mathfrak{S}_n$ là tích của $k$ phép hoán vị đổi chỗ $t_1, \ldots, t_k$ có các giá đỡ đôi một rời nhau. Hãy chứng minh rằng bộ tập trung $C_s$ của $s$ trong $\mathfrak{S}_n$ đẳng cấu với $\mathfrak{S}_{n-2k} \times A$, trong đó $A$ nhận một nhóm con chuẩn tắc cấp $2^k$ sao cho $A/B$ đẳng cấu với $\mathfrak{S}_k$ (nhận thấy rằng mọi phần tử của $C_s$ đều hoán vị các điểm bất động của $s$ và cả các giá đỡ của $t_1, \ldots, t_k$).

(b) Hãy chứng minh rằng, nếu $n = 5$ hoặc $n \geq 7$, mọi phần tử cấp 2 trong $\mathfrak{S}_n$ có bộ tập trung đẳng cấu với bộ tập trung của một phép đổi chỗ đều là một phép đổi chỗ (so sánh các thương Jordan-Hölder của các bộ tập trung này bằng cách sử dụng Bài tập 16). Suy ra rằng mọi tự đẳng cấu của $\mathfrak{S}_n$ đều hoán vị các phép đổi chỗ.

(c) Nếu $a, b$ là các phần tử phân biệt của $\{1, n\}$, ký hiệu $F_a$ (tương ứng $F_{ab}$) là nhóm ổn định của $a$ (tương ứng nhóm cố định của $\{a, b\}$) trong $\mathfrak{S}_n$ và $(a\ b)$ là phép đổi chỗ $\tau_{a,b}$. Cho $a, b, c, d$ là các phần tử phân biệt của $\{1, n\}$. Hãy chứng minh rằng, nếu $n \geq 5$, nhóm sinh bởi $F_{ab}$ và $F_{cd}$ là $\mathfrak{S}_n$ (hãy chứng minh rằng nhóm này chứa mọi phép đổi chỗ; để làm điều đó, dùng sự kiện rằng, nếu $x \in \{1, n\} - \{a, b, c, d\}$, thì $(a\ c) = (c\ x)(a\ x)(c\ x)$). Hãy chứng minh rằng nhóm sinh bởi $F_{ab}$ và $F_{ac}$ là $F_a$ (dùng cùng đẳng thức như trong trường hợp trên).

(d) Hãy chứng minh rằng một tự đẳng cấu $\alpha$ của $\mathfrak{S}_n$ thỏa mãn $\alpha(F_a) = F_a$ với mọi $a \in \{1, n\}$ là đồng nhất (hãy chứng minh rằng $\alpha$ ánh xạ mọi phép đổi chỗ lên chính nó). Hãy chứng minh rằng, nếu tồn tại $a \in \{1, n\}$ sao cho $\alpha(F_a) = F_a$, thì $\alpha$ là một tự đẳng cấu trong (hãy chứng minh rằng tồn tại một tự đẳng cấu trong $\beta$ sao cho $\beta \circ \alpha$ ánh xạ mỗi nhóm $F_b, b \in \{1, n\}$, lên chính nó).

(e) Cho $a, b$ là hai phần tử phân biệt của $\{1, n\}$ và gọi $C_{ab}$ là bộ tập trung của $(a, b)$ trong $\mathfrak{S}_n$. Chứng minh rằng, nếu $n \geq 5$, nhóm dẫn xuất của $C_{ab}$ có chỉ số 4 trong $C_{ab}$ (dùng sự kiện rằng nhóm dẫn xuất của $\mathfrak{S}_{n-2}$ là $\mathfrak{A}_{n-2}$). Chứng minh rằng $F_{ab}$ là nhóm con duy nhất của $C_{ab}$ có chỉ số 2 mà không chứa $(a\ b)$ và không được chứa trong $\mathfrak{A}_n$.

(f) Chứng minh rằng, nếu $n \geq 5$, một tự đẳng cấu $\alpha$ của $\mathfrak{S}_n$ giữ cố định một phép đổi chỗ $(a\ b)$ thì là nội. (Dùng (e) để chứng minh rằng $\alpha(F_{ab}) = F_{ab}$; cũng chứng minh rằng, nếu $c \notin \{a, b\}$, thì $\alpha(F_{ac})$ hoặc thuộc dạng $F_{ax}$, $x \notin \{a, b\}$, hoặc thuộc dạng $F_{bx}$, $x \notin \{a, b\}$; trong trường hợp thứ nhất kết luận rằng $\alpha(F_a) = F_a$ và áp dụng (d); rút gọn trường hợp thứ hai về trường hợp thứ nhất bằng cách nhân $\alpha$ với tự đẳng cấu trong của $\mathfrak{S}_n$ được xác định bởi $(a\ b)$.)

(g) Suy ra từ (b) và (f) rằng mọi tự đẳng cấu của $\mathfrak{S}_n$ đều là nội nếu $n = 5$ hoặc $n \geq 7$.