Exercice 25, § 5

Soit $n$ un entier $\geqslant 5$. Montrer que les sous-groupes de $S_n$ d’ordre $(n-1)!$ sont isomorphes à $S_{n-1}$ et forment une seule classe de conjugaison (resp. deux classes de conjugaison) si $n \neq 6$ (resp. si $n = 6$). (Soit $H$ un tel sous-groupe, et soient $x_1, \ldots, x_n$ les éléments de $S_n/H$. Montrer que l’action de $S_n$ sur les $x_i$ définit un automorphisme de $S_n$, et appliquer les exercices 23 et 24.)