Exercice 29, § 5

Soit X un ensemble infini. Soit G le sous-groupe de $\mathfrak{S}_X$ formé des permutations $\sigma$ jouissant de la propriété suivante: il existe une partie finie $Y_\sigma$ de X telle que $\sigma x = x$ si $x \in X - Y_\sigma$ et que la restriction de $\sigma$ à $Y_\sigma$ soit paire. a) Montrer que G est un groupe simple non commutatif. Montrer que toute partie de G qui engendre G est équipotente à X. b) Montrer que tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe de G (utiliser le fait que $\mathfrak{S}_n$ est isomorphe à un sous-groupe de $\mathfrak{A}_{n+2}$).