Bài tập 29, § 5

Cho $X$ là một tập vô hạn. Gọi $G$ là nhóm con của $\mathfrak{S}_X$ gồm các phép thế $\sigma$ có tính chất sau: tồn tại một tập con hữu hạn $Y_\sigma$ của $X$ sao cho $\sigma x = x$ nếu $x \in X - Y_\sigma$ và hạn chế của $\sigma$ trên $Y_\sigma$ là chẵn.

(a) Hãy chứng minh rằng G là một nhóm đơn không giao hoán. Hãy chứng minh rằng mọi tập con của G sinh ra G đều có cùng lực lượng với X.

(b) Hãy chứng minh rằng mọi nhóm hữu hạn đều đẳng cấu với một nhóm con của G (dùng sự kiện rằng $\mathfrak{S}_n$ đẳng cấu với một nhóm con của $\mathfrak{A}_{n+2}$).