Exercice 4, § 5

a) Soient $G$ un groupe simple non commutatif, $\Gamma$ le groupe des automorphismes de $G$, $\Delta$ le groupe des automorphismes intérieurs de $G$ (isomorphe à $G$). Si $s$ est un automorphisme du groupe $\Gamma$, montrer que $s(\Delta) = \Delta$ (en utilisant l’exerc. 3 ci-dessus, et I, p. 46, prop. 15, remarquer que l’intersection $\Delta \cap s(\Delta)$ ne peut se réduire à l’élément neutre de $\Gamma$). b) Montrer que le seul automorphisme de $\Gamma$ laissant invariant chacun des éléments de $\Delta$ est l’automorphisme identique (écrire que cet automorphisme laisse invariant $\alpha$ et $\sigma \alpha \sigma^{-1}$, quels que soient $\alpha \in \Delta$ et $\sigma \in \Gamma$, et utiliser l’exerc. 3). c) Soient $s$ un automorphisme de $\Gamma$, $\varphi$ l’isomorphisme $x \mapsto \operatorname{Int}(x)$ de $G$ sur $\Delta$, $\psi$ l’isomorphisme réciproque, $\sigma$ l’automorphisme $\psi \circ s \circ \varphi$ de $G$; montrer que l’automorphisme $\xi \mapsto \sigma^{-1}s(\xi)\sigma$ de $\Gamma$ est l’automorphisme identique (utiliser b) en remarquant que, pour tout $x \in G$, on a $s(\operatorname{Int}(x)) = \operatorname{Int}(\sigma(x))$. En déduire que tout automorphisme de $\Gamma$ est un automorphisme intérieur.