Bài tập 4, § 5

(a) Cho G là một nhóm đơn không giao hoán, $\Gamma$ là nhóm tự đẳng cấu của G và $\Delta$ là nhóm các tự đẳng cấu trong của G (đẳng cấu với G). Nếu s là một tự đẳng cấu của nhóm $\Gamma$, hãy chứng minh rằng $s(\Delta) = \Delta$ (sử dụng Bài tập 3 ở trên và § 4, no. 9, Mệnh đề 15, chú ý rằng giao $\Delta \cap s(\Delta)$ không thể chỉ gồm phần tử đơn vị của $\Gamma$). (b) Chứng minh rằng tự đẳng cấu duy nhất của $\Gamma$ bất biến từng phần tử của $\Delta$ là phần tử đơn vị (sử dụng sự kiện rằng tự đẳng cấu này bất biến $\alpha$ và $\sigma \alpha \sigma^{-1}$ với mọi $\alpha \in \Delta$ và $\sigma \in \Gamma$ và sử dụng Bài tập 3). (c) Cho s là một tự đẳng cấu của $\Gamma$, $\phi$ là đẳng cấu $x \mapsto \operatorname{Int}(x)$ của G lên $\Delta$, $\psi$ là đẳng cấu nghịch đảo và $\sigma$ là tự đẳng cấu $\psi \circ s \circ \phi$ của G; chứng minh rằng tự đẳng cấu $\xi \mapsto \sigma^{-1}s(\xi)\sigma$ của $\Gamma$ là tự đẳng cấu đồng nhất (sử dụng (b), chú ý rằng, với mọi $x \in G$, $s(\operatorname{Int}(x)) = \operatorname{Int}(\sigma(x))$). Suy ra rằng mọi tự đẳng cấu của $\Gamma$ đều là một tự đẳng cấu trong.