Exercice 7, § 5

Algèbre, I, p. 130

Soit p un nombre premier. a) Montrer que n^p \equiv n \pmod{p} pour tout n \in \mathbf{Z}. (Se ramener au cas où n est positif, et raisonner par récurrence sur n en utilisant la formule du binôme.) b) Soient x, y deux éléments d’un groupe G. On suppose que

yxy^{-1} = x^n, \quad \text{avec } n \in \mathbf{Z}, \quad \text{et que } x^p = 1.

Montrer que y^p xy^{-p} = x^n; en déduire que y^{p-1} commute à x. c) Soit G un groupe dont tous les éléments \neq 1 sont d’ordre p et sont conjugués entre eux. Montrer que Card(G) est égal à 1 ou 2. (Utiliser b) pour prouver que G est commutatif.)

Solution

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