Bài tập 7, § 5

Cho p là một số nguyên tố. (a) Chứng minh rằng $n^p \equiv n \pmod{p}$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$. (Rút gọn về trường hợp n là dương và lập luận bằng quy nạp theo n, dùng công thức nhị thức.) (b) Cho x, y là hai phần tử của một nhóm G. Giả sử rằng

Chứng minh rằng $y^p xy^{-p} = x^n$; suy ra rằng $y^{p-1}$ giao hoán với x.

(c) Cho G là một nhóm mà mọi phần tử $\neq 1$ đều có cấp p và liên hợp với nhau. Chứng minh rằng Card(G) bằng 1 hoặc 2. (Dùng (b) để chứng minh rằng G là giao hoán.)