Exercice 9, § 5

Soit G un groupe de permutations d’un ensemble fini E; pour tout s \in G, on désigne par \chi(s) le cardinal de l’ensemble des points fixes de s. a) Montrer que \sum_{s \in G} \chi(s) = N t, où N = \operatorname{Card}(G), et où t est le nombre des orbites de G dans E (évaluer de deux manières le nombre des couples (s, x) \in G \times E tels que s(x) = x). b) On suppose que, pour tout a \in E, le stabilisateur H_a de a n’est pas réduit à e. Montrer que, si \chi(s) est indépendant de s pour s \neq e, et égal à un entier k, on a

(Remarquer que Card(E) \leq Nk).

Dans le cas particulier où k = 2, trouver les ordres possibles des groupes H_a; montrer que, si t = 3, l’ordre de H_a ne peut être \geq 3 pour les éléments de deux des trois orbites que si N a l’une des valeurs 12, 24 ou 60. c) On suppose que G opère transitivement dans E, et l’on note H le stabilisateur d’un élément de E; montrer que \sum_{s \in G} \chi(s)^2 est égal à N . t_H où t_H est le nombre des orbites de H dans E. (Pour tout (s, u), on pose \chi(s, u) = \chi(s). Evaluer de deux manières la somme \sum_{(s, u) \in R} \chi(s, u), où R est l’ensemble des couples (s, u) tels que usu^{-1} \in H.)