Bài tập 9, § 5

Cho G là một nhóm các hoán vị của một tập hợp hữu hạn E; với mọi $s \in G$, ký hiệu $\chi(s)$ là lực lượng của tập hợp các điểm bất động của s. (a) Chứng minh rằng $\sum_{s \in G} \chi(s) = N t$, trong đó N = Card(G) và t là số quỹ đạo của G trong E (hãy tính theo hai cách số các cặp có thứ tự $(s, x) \in G \times E$ sao cho $s(x) = x$). (b) Giả sử rằng, với mọi $a \in E$, nhóm ổn định $H_a$ của a không chỉ gồm e. Chứng minh rằng, nếu $\chi(s)$ độc lập với s khi $s \neq e$ và bằng một số nguyên k, thì

(Hãy chú ý rằng Card(E) $\leq Nk$.)

Trong trường hợp riêng khi $k = 2$, hãy tìm các cấp có thể có của các nhóm $H_a$; chứng minh rằng, nếu $t = 3$, thì cấp của $H_a$ không thể $\geq 3$ đối với các phần tử của hai trong ba quỹ đạo, trừ khi N có một trong các giá trị 12, 24 hoặc 60.

(c) Giả sử rằng G tác động bắc cầu trên E và ký hiệu H là nhóm ổn định của một phần tử của E; chứng minh rằng $\sum_{s \in G} \chi(s)^2$ bằng N \cdot t_H, trong đó $t_H$ là số quỹ đạo của H trong E. (Với mọi $(s, u)$, đặt $\chi(s, u) = \chi(s)$. Hãy tính theo hai cách tổng $\sum_{(s, u) \in R} \chi(s, u)$, trong đó R là tập hợp các cặp có thứ tự $(s, u)$ sao cho $usu^{-1} \in H$.)