Exercice 1, § 6

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G tels que G/H soit cyclique d’ordre fini n. Soit x un élément de G dont l’image $\bar{x}$ dans G/H engendre G/H. Soit $\varphi$ l’automorphisme $h \mapsto xhx^{-1}$ de H et soit $y = x^n$; on a $y \in H$. Montrer que $\varphi(y) = y$ et que $\varphi^n$ est l’automorphisme intérieur de H défini par y. Soit $\tau$ l’opération de $\mathbf{Z}$ sur H définie par $(m, h) \mapsto \varphi^m(h)$, et soit E = H $\times_{\tau} \mathbf{Z}$ le produit semi-direct correspondant. Montrer que l’élément $(y^{-1}, n)$ de E engendre un sous-groupe central $C_y$ de E et que le quotient E/C_y est isomorphe à G.