Bài tập 1, § 6

Cho G là một nhóm và H là một nhóm con chuẩn tắc của G sao cho G/H là cyclic hữu hạn cấp n. Cho x là một phần tử của G mà ảnh $\bar{x}$ của nó trong G/H sinh ra G/H. Cho $\phi$ là tự đẳng cấu $h \mapsto xhx^{-1}$ của H và đặt $y = x^n$; khi đó $y \in H$. Chứng minh rằng $\phi(y) = y$ và $\phi^n$ là tự đẳng cấu trong của H xác định bởi y.

Cho $\tau$ là phép toán của $\mathbf{Z}$ trên H xác định bởi $(m, h) \mapsto \phi^m(h)$ và cho $E = H \times_{\tau} \mathbf{Z}$ là tích nửa trực tiếp tương ứng. Chứng minh rằng phần tử $(y^{-1}, n)$ của E sinh ra một nhóm con trung tâm C: của E và thương $E/C_y$ đẳng cấu với G.