Exercice 15, § 6

Soit G un groupe et soit X une partie de G engendrant G. a) On pose $X_1 = X$; pour $n \geq 2$, on définit $X_n$, par récurrence sur $n$, comme l’ensemble des commutateurs $(x, y)$, pour $x \in X, y \in X_{n-1}$. Montrer que $X_n = \{e\}$ si et seulement si G est nilpotent de classe $\leq n$. (Raisonner par récurrence sur $n$. Si $X_n = \{e\}$, montrer que le sous-groupe H de G engendré par $X_{n-1}$ est contenu dans le centre de G, et appliquer l’hypothèse de récurrence à G/H.) b) Montrer que $C^n(G)$ est le sous-groupe distingué de G engendré par $X_n$. En déduire que l’image de $X_n$ dans $C^n(G)/C^{n+1}(G)$ engendre le groupe $C^n(G)/C^{n+1}(G)$. c) On prend $G = S_m$ ($m \geq 4$) et $X = \{s, t\}$, où s est une transposition et t un cycle d’ordre m. Montrer que $X_2$ n’engendre pas le groupe $C^2(G) = \mathfrak{A}_m$.