Bài tập 15, § 6

Cho $G$ là một nhóm và $X$ là một tập con của $G$ sinh ra $G$. (a) Ta đặt $X_1 = X$; với $n \geq 2$, ta định nghĩa $X_n$, bằng quy nạp theo $n$, là tập hợp các giao hoán tử $(x, y)$, với $x \in X, y \in X_{n-1}$. Bây giờ chứng minh rằng $X_n = \{e\}$ khi và chỉ khi G là lũy linh thuộc lớp $\leq n$. (Lập luận bằng quy nạp theo $n$. Nếu $X_n = \{e\}$, chứng minh rằng nhóm con H của G sinh bởi $X_{n-1}$ được chứa trong tâm của G, và áp dụng giả thiết quy nạp cho G/H.) (b) Bây giờ chứng minh rằng $C^n(G)$ là nhóm con chuẩn của G sinh bởi $X_n$. Suy ra rằng ảnh của $X_n$ trong $C^n(G)/C^{n+1}(G)$ sinh ra nhóm $C^n(G)/C^{n+1}(G)$. (c) Ta lấy $G = S_m$ ($m \geq 4$) và $X = \{s, t\}$, trong đó s là một phép chuyển vị và t là một chu trình cấp m. Bây giờ chứng minh rằng $X_2$ không sinh ra nhóm $C^2(G) = \mathfrak{A}_m$.