Exercice 23, § 6

Soit $\sigma$ un automorphisme d’un groupe G. a) Montrer l’équivalence des conditions suivantes: (i) $\sigma(x) = x$ entraîne $x = e$. (ii) L’application $x \mapsto x^{-1}\sigma(x)$ est injective. Lorsque ces conditions sont satisfaites, on dit (par abus de langage) que $\sigma$ est sans point fixe. b) On suppose G fini et $\sigma$ sans point fixe. L’application $x \mapsto x^{-1}\sigma(x)$ est alors bijective. Si H est un sous-groupe distingué de G stable par $\sigma$, montrer que l’automorphisme de G/H défini par $\sigma$ est sans point fixe. c) Les hypothèses étant celles de b), soit $p$ un nombre premier. Montrer qu’il existe un $p$-sous-groupe de Sylow P de G stable par $\sigma$. (Si $P_0$ est un $p$-sous-groupe de Sylow, il existe $y \in G$ tel que $\sigma(P_0) = yP_0y^{-1}$; écrire $y^{-1}$ sous la forme $x^{-1}\sigma(x)$ et prendre $P = xP_0x^{-1}$.) Montrer qu’un tel sous-groupe est unique, et contient tout $p$-sous-groupe de G stable par $\sigma$. d) On suppose en outre que $\sigma$ est d’ordre 2. Montrer que $\sigma(g) = g^{-1}$ pour tout $g \in G$ (écrire $g$ sous la forme $x^{-1}\sigma(x)$, avec $x \in G$). En déduire que G est commutatif et d’ordre impair.