Bài tập 23, § 6

Cho $\sigma$ là một tự đẳng cấu của một nhóm G. a) Bây giờ chứng minh sự tương đương của các điều kiện sau: (i) $\sigma(x) = x$ kéo theo $x = e$. (ii) Ánh xạ $x \mapsto x^{-1}\sigma(x)$ là đơn ánh. Khi các điều kiện này được thỏa mãn, người ta nói (do lạm dụng ngôn ngữ) rằng $\sigma$ không có điểm bất động. b) Giả sử G hữu hạn và $\sigma$ không có điểm bất động. Khi đó ánh xạ $x \mapsto x^{-1}\sigma(x)$ là song ánh. Nếu H là một nhóm con chuẩn của G ổn định bởi $\sigma$, bây giờ chứng minh rằng tự đẳng cấu của G/H xác định bởi $\sigma$ không có điểm bất động. c) Các giả thiết là những giả thiết của b), hãy cho $p$ là một số nguyên tố. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một nhóm con $p$-Sylow P của G ổn định bởi $\sigma$. (Nếu $P_0$ là một nhóm con $p$-Sylow, tồn tại $y \in G$ sao cho $\sigma(P_0) = yP_0y^{-1}$; viết $y^{-1}$ dưới dạng $x^{-1}\sigma(x)$ và lấy $P = xP_0x^{-1}$.) Bây giờ chứng minh rằng một nhóm con như vậy là duy nhất, và chứa mọi nhóm con $p$-của G ổn định bởi $\sigma$. d) Giả sử thêm rằng $\sigma$ có cấp 2. Bây giờ chứng minh rằng $\sigma(g) = g^{-1}$ với mọi $g \in G$ (viết $g$ dưới dạng $x^{-1}\sigma(x)$, với $x \in G$). Suy ra rằng G là giao hoán và có cấp lẻ.