Exercice 27, § 6

Soit S un groupe fini. On dit que S est un groupe simple minimal si S est simple, non commutatif, et si tout sous-groupe de S distinct de S est résoluble. a) Montrer que le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est simple minimal si et seulement si $n = 5$. b) Soit G un groupe fini. Montrer que, si G n’est pas résoluble, il existe deux sous-groupes H et K de G, avec H distingué dans K, tels que K/H soit un groupe simple minimal.