Bài tập 27, § 6

Cho $S$ là một nhóm hữu hạn. Ta nói rằng $S$ là một nhóm đơn cực tiểu nếu $S$ là đơn, không giao hoán, và nếu mọi nhóm con của $S$ phân biệt với $S$ đều là giải được. a) Bây giờ chứng minh rằng nhóm phản xứng $\mathfrak{A}_n$ là cực tiểu đơn khi và chỉ khi $n = 5$. b) Cho $G$ là một nhóm hữu hạn. Bây giờ chứng minh rằng, nếu $G$ không giải được, thì tồn tại hai nhóm con $H$ và $K$ của $G$, với $H$ là nhóm con phân biệt trong $K$, sao cho $K/H$ là một nhóm đơn cực tiểu.