Exercice 29, § 6

Soit G un groupe fini d’ordre pair et soit H un 2-sous-groupe de Sylow de G. Pour tout $s \in G$, soit $\varepsilon(s)$ la signature de la permutation $x \mapsto sx$ de G. a) Soit $s \in H$. Montrer que $\varepsilon(s) = -1$ si et seulement si s engendre H. b) Montrer que $\varepsilon$ est surjectif si et seulement si H est cyclique. c) On suppose H cyclique. Montrer qu’il existe un sous-groupe distingué D de G et un seul tel que G soit produit semi-direct de H et D (raisonner par récurrence sur l’ordre de H). Montrer que le normalisateur N de H dans G est produit direct de H et de $N \cap D$. d) Montrer que l’ordre d’un groupe simple non commutatif est, soit impair¹, soit divisible par 4.

¹ En fait, ce cas est impossible, comme l’ont montré Feit et Thompson, Pac. J. of Maths., t. XIII (1963), p. 775–1029.