Bài tập 29, § 6

Cho G là một nhóm hữu hạn có cấp chẵn và cho H là một nhóm con Sylow-2 của G. Với mọi $s \in G$, gọi $\varepsilon(s)$ là chữ ký của phép hoán vị $x \mapsto sx$ của G. a) Cho $s \in H$. Bây giờ chứng minh rằng $\varepsilon(s) = -1$ khi và chỉ khi s sinh ra H. b) Bây giờ chứng minh rằng $\varepsilon$ là toàn ánh khi và chỉ khi H là cyclic. c) Giả sử H là cyclic. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một nhóm con chuẩn tắc D của G sao cho G là tích nửa trực tiếp của H và D (lý luận bằng quy nạp theo cấp của H). Bây giờ chứng minh rằng chuẩn hóa tử N của H trong G là tích trực tiếp của H và $N \cap D$. d) Bây giờ chứng minh rằng cấp của một nhóm đơn không giao hoán là hoặc lẻ¹ hoặc chia hết cho 4.

¹ Thực ra, trường hợp này là không thể xảy ra, như đã được Feit và Thompson chứng minh, Pac. J. of Maths., t. XIII (1963), p. 775–1029.