Exercice 30, § 6

Soient $p$ un nombre premier, $r$ et $t$ des entiers $\geqslant 0$, S un groupe cyclique d’ordre $p^{r+t}$ et T le sous-groupe d’ordre $p^t$ de S. a) Si S opère sur un ensemble fini E, montrer que l’on a

où $E^T$ désigne l’ensemble des éléments de E invariants par T. b) Soient $m, n$ des entiers $\geqslant 0$. Montrer que l’on a (Soit M un ensemble à $m$ éléments, et soit E l’ensemble des parties de $S \times M$ ayant $p^t n$ éléments. Définir une opération de S sur $S \times M$ telle qu’il existe une bijection de $E^T$ sur l’ensemble des parties de $(S/T) \times M$ ayant $n$ éléments; appliquer a).)