Bài tập 30, § 6

Cho $p$ là một số nguyên tố, $r$ và $t$ là các số nguyên $\geqslant 0$, S là một nhóm xyclic có cấp $p^{r+t}$ và T là nhóm con có cấp $p^t$ của S. a) Nếu S tác động trên một tập hợp hữu hạn E, bây giờ chứng minh rằng ta có

trong đó $E^T$ ký hiệu tập hợp các phần tử của E bất biến dưới T. b) Cho $m, n$ là các số nguyên $\geqslant 0$. Bây giờ chứng minh rằng ta có (Cho M là một tập hợp có $m$ phần tử, và cho E là tập hợp các tập con của $S \times M$ có $p^t n$ phần tử. Định nghĩa một phép toán của S trên $S \times M$ sao cho tồn tại một song ánh từ $E^T$ lên tập hợp các tập con của $(S/T) \times M$ có $n$ phần tử; áp dụng a).)