Exercice 31, § 6

Soient G un groupe fini, et S un $p$-sous-groupe de Sylow de G. Soient $r, t$ des entiers $\geqslant 0$ tels que $\operatorname{Card}(S) = p^{r+t}$. Soit E l’ensemble des sous-groupes de G d’ordre $p^t$. a) On suppose que S est cyclique. Montrer que $\operatorname{Card}(E) \equiv 1 \pmod{p^{r+1}}$. (Faire opérer S sur E par conjugaison et utiliser l’exerc. 30.) En déduire que, si le sous-groupe d’ordre $p^t$ de S n’est pas distingué dans G, il y a au moins $1 + p^{r+1}$ $p$-sous-groupes de Sylow dans G. b) Montrer que $\operatorname{Card}(E) \equiv 1 \pmod{p}$ même si S n’est pas cyclique. (Faire opérer G par translation sur l’ensemble F des parties de G ayant $p^t$ éléments. Montrer que les éléments de E donnent des orbites distinctes ayant $(G:S)p^r$ éléments, et que toutes les autres orbites ont un nombre d’éléments divisible par $p^{r+1}$. Appliquer l’exerc. 30.)