Bài tập 31, § 6

Cho G là một nhóm hữu hạn, và S là một nhóm con $p$-Sylow của G. Cho $r, t$ là các số nguyên $\geqslant 0$ sao cho $\operatorname{Card}(S) = p^{r+t}$. Cho E là tập hợp các nhóm con của G có cấp $p^t$. a) Giả sử rằng S là cyclic. Bây giờ chứng minh rằng $\operatorname{Card}(E) \equiv 1 \pmod{p^{r+1}}$. (Cho S tác động lên E bằng phép liên hợp và sử dụng bài tập 30.) Suy ra rằng, nếu nhóm con có cấp $p^t$ của S không chuẩn trong G, thì có ít nhất $1 + p^{r+1}$ nhóm con $p$-Sylow trong G. b) Bây giờ chứng minh rằng $\operatorname{Card}(E) \equiv 1 \pmod{p}$ ngay cả khi S không cyclic. (Cho G tác động bằng phép tịnh tiến lên tập hợp F gồm các tập hợp con của G có $p^t$ phần tử. Chứng minh rằng các phần tử của E cho các quỹ đạo phân biệt có $(G:S)p^r$ phần tử, và rằng tất cả các quỹ đạo khác có một số phần tử chia hết cho $p^{r+1}$. Áp dụng bài tập 30.)