Exercice 35, § 6

Soit G un groupe tel que le groupe dérivé $D = D(G)$ soit contenu dans le centre C de G. a) Montrer que l’application $(x, y) \mapsto (x, y)$ induit une application $\varphi : (G/C) \times (G/C) \to D$ telle que, en écrivant ces groupes additivement, on ait:

quels que soient $\alpha, \beta, \gamma$ dans $G/C$. b) Montrer que, pour tout entier $n$, on a

pour $x, y$ dans $G$. En déduire que, si $n$ est impair et si $d^n = 1$ pour tout $d \in D$, l’application $x \mapsto x^n$ définit, par passage au quotient, un homomorphisme $\theta : G/D \to C$.