Bài tập 35, § 6

Cho $G$ là một nhóm sao cho nhóm dẫn xuất $D = D(G)$ được chứa trong tâm C của G. a) Chứng minh rằng ánh xạ $(x, y) \mapsto (x, y)$ sinh ra một ánh xạ $\varphi : (G/C) \times (G/C) \to D$ sao cho, khi viết các nhóm này theo phép cộng, ta có:

với mọi $\alpha, \beta, \gamma$ trong $G/C$. b) Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $n$, ta có

với $x, y$ trong $G$. Suy ra rằng, nếu $n$ là lẻ và nếu $d^n = 1$ với mọi $d \in D$, thì ánh xạ $x \mapsto x^n$ xác định, bằng cách chuyển qua thương, một đồng cấu $\theta : G/D \to C$.