Exercice 36, § 6

Soit $p$ un nombre premier et soit $G$ un groupe non commutatif d’ordre $p^3$. a) Montrer que, avec les notations de l’exercice précédent, on a $C = D$, et que $G/D$ est isomorphe au produit de deux groupes d’ordre $p$. b) Supposons que $p$ soit impair, et que l’homomorphisme $\theta$ de l’exercice précédent soit non nul. Montrer que $G$ est produit semi-direct d’un groupe d’ordre $p$ par un groupe cyclique d’ordre $p^2$. Montrer qu’il existe des éléments $x, y$ engendrant $G$ tels que

que $G$ est caractérisé à isomorphisme près par cette propriété (et par le fait d’être d’ordre $p^3$), et qu’un tel groupe $G$ existe. c) Pour $p = 2$, même question que dans b) en remplaçant l’hypothèse $\theta \neq 0$ par l’hypothèse que $G$ contient un élément non central d’ordre 2. Montrer qu’un tel groupe est isomorphe au groupe diédral $D_4$ (cf. I, p. 134, exerc. 4) ainsi qu’à un 2-sous-groupe de Sylow de $\mathfrak{S}_4$. d) Supposons que $p$ soit impair et que l’homomorphisme $\theta$ de l’exercice précédent soit nul. Montrer qu’il y a des éléments $x, y, z$ engendrant $G$ tels que que $G$ est caractérisé par cette propriété, et qu’un tel groupe existe. \* Montrer que $G$ est isomorphe au groupe multiplicatif des matrices de la forme dont les éléments $a, b, c$ appartiennent au corps à $p$ éléments.* e) Supposons que $p = 2$, et qu’aucun élément non central de $G$ n’est d’ordre 2 (donc qu’ils sont tous d’ordre 4). Montrer que $G$ est engendré par des éléments $x, y$ tels que que $G$ est caractérisé par cette propriété, et est isomorphe au groupe quaternionien (cf. I, p. 134, exerc. 4). f) \* Le groupe des matrices où $a, b, c$ parcourent le corps à 2 éléments, est-il du type c) ou du type e)? \*