Bài tập 36, § 6

Cho $p$ là một số nguyên tố và cho $G$ là một nhóm không giao hoán có cấp $p^3$. a) Bây giờ chứng minh rằng, với các ký hiệu của bài tập trước, ta có $C = D$, và rằng $G/D$ đẳng cấu với tích của hai nhóm có cấp $p$. b) Giả sử rằng $p$ là lẻ, và rằng đồng cấu $\theta$ của bài tập trước là khác không. Bây giờ chứng minh rằng $G$ là tích nửa trực tiếp của một nhóm có cấp $p$ bởi một nhóm cyclic có cấp $p^2$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại các phần tử $x, y$ sinh $G$ sao cho

rằng $G$ được đặc trưng đến đẳng cấu bởi tính chất này (và bởi sự kiện là có cấp $p^3$), và rằng tồn tại một nhóm $G$ như vậy. c) Với $p = 2$, cùng câu hỏi như trong b) khi thay giả thiết $\theta \neq 0$ bởi giả thiết rằng $G$ chứa một phần tử không trung tâm có cấp 2. Bây giờ chứng minh rằng một nhóm như vậy đẳng cấu với nhóm dihedral $D_4$ (xem I, p. 134, bài tập 4) cũng như với một nhóm con Sylow 2 của $\mathfrak{S}_4$. d) Giả sử rằng $p$ là lẻ và rằng đồng cấu $\theta$ của bài tập trước là không. Bây giờ chứng minh rằng có các phần tử $x, y, z$ sinh $G$ sao cho rằng $G$ được đặc trưng bởi tính chất này, và rằng tồn tại một nhóm như vậy. \* Bây giờ chứng minh rằng $G$ đẳng cấu với nhóm nhân của các ma trận dạng mà các phần tử $a, b, c$ thuộc trường có $p$ phần tử.\* e) Giả sử rằng $p = 2$, và rằng không có phần tử không trung tâm nào của $G$ có cấp 2 (do đó tất cả chúng đều có cấp 4). Bây giờ chứng minh rằng $G$ được sinh bởi các phần tử $x, y$ sao cho rằng $G$ được đặc trưng bởi tính chất này, và đẳng cấu với nhóm quaternion (xem I, p. 134, bài tập 4). f) \* Nhóm các ma trận trong đó $a, b, c$ chạy qua trường có 2 phần tử, có phải là kiểu c) hay kiểu e)? \*