Exercice 38, § 6

Soit G un groupe fini d’ordre $n = p^a m$, où $p$ est un nombre premier ne divisant pas $m$, et soit X l’ensemble des $p$-sous-groupes de Sylow de G. Soit P $\in$ X, soit N le normalisateur de P et soit $r = \mathrm{Card}(X)$. a) Montrer que $r = (G : N)$. En déduire que $r$ appartient à l’ensemble R des diviseurs positifs de $m$ qui sont congrus à 1 (mod $p$). En particulier, si R est réduit à 1, P est distingué dans G. b) Si $a = 1$, montrer que le nombre des éléments de G d’ordre $p$ est $r(p - 1)$. Si de plus N = P, montrer que les éléments de G d’ordre différent de $p$ sont en nombre égal à $m$; si de plus $m$ est une puissance d’un nombre premier $q$, en déduire qu’un $q$-sous-groupe de Sylow Q de G contient tous les éléments de G d’ordre différent de $p$, donc est distingué dans G. c) Soit H un groupe d’ordre 210. Montrer que H contient un sous-groupe distingué G d’ordre $n = 105$ (cf. I, p. 139, exerc. 29). Soit $p = 3$ (resp. 5, 7). Montrer que, si G n’a pas de $p$-sous-groupe de Sylow distingué, le groupe G contient au moins 14 (resp. 84, 90) éléments d’ordre $p$. En conclure que H et G possèdent la propriété (ST) (cf. exercice précédent). d) Montrer que tout groupe d’ordre $n \leq 100$ possède la propriété (ST), sauf peut-être si $n = 24, 36, 48, 60, 72$ ou 96 (mêmes méthodes que dans c)). e) Montrer que le groupe $\mathfrak{S}_4$, d’ordre 24, ne possède pas la propriété (ST). Construire des exemples analogues pour $n = 48, 60, 72, 96$. (Pour $n = 36$, voir l’exercice suivant.)