Bài tập 38, § 6

Cho G là một nhóm hữu hạn có cấp $n = p^a m$, trong đó $p$ là một số nguyên tố không chia hết $m$, và cho X là tập hợp các nhóm con Sylow $p$ của G. Cho $P \in X$, cho N là chuẩn hóa tử của P và $r = \mathrm{Card}(X)$.

(a) Chứng minh rằng $r = (G:N)$. Suy ra rằng $r$ thuộc tập hợp R các ước dương của $m$ đồng dư với 1 $(\bmod\ p)$. Đặc biệt, nếu R là $\{1\}$, thì P là chuẩn trong G.

(b) Nếu $a = 1$, chứng minh rằng số các phần tử của G có cấp $p$ là $r(p - 1)$. Nếu hơn nữa $N = P$, chứng minh rằng các phần tử của G có cấp khác $p$ có số lượng bằng $m$; nếu hơn nữa $m$ là một lũy thừa của một số nguyên tố $q$, suy ra rằng một nhóm con Sylow $q$ Q của G chứa tất cả các phần tử của G có cấp khác $p$ và do đó là chuẩn trong G.

(c) Cho H là một nhóm có cấp 210. Chứng minh rằng H chứa một nhóm con chuẩn G có cấp 105 (xem Bài tập 29). Cho $p = 3$ (tương ứng 5, 7). Chứng minh rằng, nếu G không có nhóm con Sylow $p$ chuẩn, thì nhóm G chứa ít nhất 14 (tương ứng 84, 90) phần tử có cấp $p$. Kết luận rằng H và G có tính chất (ST) (xem bài tập trước).

(d) Chứng minh rằng mọi nhóm có cấp $n \leq 100$ đều có tính chất (ST), ngoại trừ có thể khi $n = 24, 36, 48, 60, 72, 96$ (cùng phương pháp như trong (c)).

(e) Chứng minh rằng nhóm $\mathfrak{S}_4$, có cấp 24, không có tính chất (ST). Xây dựng các ví dụ tương tự cho $n = 48, 60, 72, 96$. (Đối với $n = 36$, xem bài tập sau.)