Exercice 7, § 6

Soient G et A deux groupes, A étant commutatif. Soit $\tau$ un homomorphisme de G dans le groupe Aut(A) des automorphismes de A; si $g \in G, a \in A$, posons $^g a = \tau(g)(a)$. On appelle homomorphisme croisé de G dans A toute application $\varphi : G \to A$ telle que

le groupe A étant noté additivement. Les homomorphismes croisés de G dans A forment un groupe pour l’addition, noté $Z(G, A)$. a) Si $a \in A$, on note $\theta_a$ l’application $g \mapsto {}^g a - a$. Montrer que $a \mapsto \theta_a$ est un homomorphisme $\theta$ de A dans $Z(G, A)$. Le noyau de $\theta$ est le sous-groupe de A formé des éléments invariants par G. L’image de $\theta$ est notée $B(G, A)$. b) Soit $X = A \times_{\tau} G$ le produit semi-direct de G par A. Si $\varphi$ est une application de G dans A, montrer que $g \mapsto (\varphi(g), g)$ est une section de X si et seulement si $\varphi$ appartient à $Z(G, A)$. Pour que les sections correspondant à $\varphi_1, \varphi_2$ dans $Z(G, A)$ soient conjuguées par un élément de A, il faut et il suffit que l’on ait $\varphi_1 \equiv \varphi_2$ mod. $B(G, A)$. c) Soit $F \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G$ une extension de G par un groupe F dont le centre est égal à A. On suppose que, si $y \in E$ et $x = p(y)$, on a

pour tout $f \in A$. Si $\varphi \in Z(G, A)$, soit $u_{\varphi}$ l’application de E dans E donnée par la formule $u_{\varphi}(y) = i(\varphi(p(y))) . y$. Montrer que $\varphi \mapsto u_{\varphi}$ est un isomorphisme de $Z(G, A)$ sur le groupe Aut(E) des automorphismes de l’extension E. Cet isomorphisme transforme $B(G, A)$ en le groupe des automorphismes $\mathrm{Int}_E(x)$, où $x$ parcourt A.