Bài tập 7, § 6

Cho G và A là hai nhóm, với A giao hoán. Cho $\tau$ là một đồng cấu của G vào nhóm tự đẳng cấu Aut(A) của A; nếu $g \in G, a \in A$, ta viết $^g a = \tau(g)(a)$. Một đồng cấu chéo của G vào A là bất kỳ ánh xạ nào $\phi : G \to A$ sao cho

nhóm A được viết theo lối cộng. Các đồng cấu chéo của G vào A tạo thành một nhóm đối với phép cộng, ký hiệu là $Z(G, A)$.

(a) Nếu $a \in A$, ánh xạ $g \mapsto ^g a - a$ được ký hiệu là $\theta_a$. Hãy chứng minh rằng $a \mapsto \theta_a$ là một đồng cấu $\theta$ của A vào $Z(G, A)$. Hạt nhân của $\theta$ là nhóm con của A gồm các phần tử bất biến dưới G. Ảnh của $\theta$ được ký hiệu là $B(G, A)$.

(b) Cho $X = A \times_{\tau} G$ là tích nửa trực tiếp của G bởi A. Nếu $\phi$ là một ánh xạ của G vào A, hãy chứng minh rằng $g \mapsto (\phi(g), g)$ là một tiết diện của X khi và chỉ khi $\phi$ thuộc $Z(G, A)$. Để các tiết diện tương ứng với $\phi_1, \phi_2 \in Z(G, A)$ liên hợp bởi một phần tử của A, điều kiện cần và đủ là $\phi_1 \equiv \phi_2 \mod B(G, A)$.

(c) Cho $F \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G$ là một mở rộng của $G$ bởi một nhóm $F$ mà tâm bằng $A$. Giả sử rằng, nếu $y \in E$ và $x = p(y)$, thì

với mọi $f \in A$. Nếu $\phi \in Z(G, A)$, cho $u_\phi$ là ánh xạ của $E$ vào $E$ được cho bởi công thức $u_\phi(y) = i(\phi(p(y))) . y$. Hãy chứng minh rằng $\phi \mapsto u_\phi$ là một đẳng cấu từ $Z(G, A)$ lên nhóm tự đẳng cấu $\mathrm{Aut}(E)$ của mở rộng $E$. Đẳng cấu này ánh xạ $B(G, A)$ lên nhóm các tự đẳng cấu $\mathrm{Int}_E(x)$, trong đó $x$ chạy qua $A$.