Exercice 8, § 6

Les notations étant celles de l’exercice précédent, on note $C(G, A)$ le groupe des applications de G dans A. On fait opérer G sur $C(G, A)$ par la formule

Si $\sigma$ désigne l’homomorphisme correspondant de G dans Aut(C(G, A)), on note $E_0$ le produit semi-direct $C(G, A) \times_{\sigma} G$. a) Soit $\varepsilon : A \to C(G, A)$ l’application qui associe à tout $a \in A$ l’application constante égale à $a$. Montrer que $\varepsilon$ est un homomorphisme injectif, compatible avec l’action de G. b) Soit $A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G$ une extension de G par A telle que $i(^g a) = xi(a)x^{-1}$ si $a \in A$, x \in E \text{ et } g = p(x). Soit $\rho$ une application $G \to E$ telle que $p \circ \rho = \mathrm{Id}_G$. Pour tout $x \in E$, soit $\varphi_x$ l’application de $G$ dans $A$ telle que

Montrer que l’on a En déduire que l’application $\Phi : E \to E_0$ définie par est un homomorphisme rendant commutatif le diagramme c) On appelle $G$-moyenne sur $A$ un homomorphisme vérifiant les deux conditions suivantes: Soit $m$ une $G$-moyenne sur $A$. Montrer que, si $\varphi$ est un homomorphisme croisé, et si $a = m(\varphi)$, on a $\varphi = \theta_{-a}$ (cf. I, p. 135, exerc. 7). En particulier, Montrer que l’application $(\varphi, g) \mapsto (m(\varphi), g)$ est un homomorphisme de $E_0$ dans $A \times_\tau G$. En déduire que toute extension $E$ de $G$ par $A$ vérifiant la condition de b) est isomorphe à $A \times_\tau G$ (utiliser le composé $E \xrightarrow{\Phi} E_0 \to A \times_\tau G$), donc admet une section. Montrer que deux telles sections sont transformées l’une de l’autre par un automorphisme intérieur de $E$ défini par un élément de $A$ (utiliser I, p. 135, exerc. 7 ainsi que le fait que $Z(G, A) = B(G, A)$). d) On suppose que $G$ est fini d’ordre $n$ et que l’application $\alpha \mapsto n\alpha$ est un automorphisme de $A$. Pour tout $\varphi \in C(G, A)$, on désigne par $m(\varphi)$ l’unique élément de $A$ tel que Montrer que $m$ est une $G$-moyenne sur $A$. Ceci s’applique en particulier lorsque $A$ est fini d’ordre premier à $n$.