Bài tập 8, § 6

Với ký hiệu của bài tập trên, $C(G, A)$ được dùng để ký hiệu nhóm các ánh xạ của $G$ vào $A$. $G$ tác động trên $C(G, A)$ bởi công thức

Nếu $\sigma$ ký hiệu đồng cấu tương ứng của $G$ vào $\mathrm{Aut}(C(G, A))$, tích nửa trực tiếp $C(G, A) \times_\sigma G$ được ký hiệu là $E_0$.

(a) Cho $\varepsilon : A \to C(G, A)$ là ánh xạ gắn với mỗi $a \in A$ ánh xạ hằng bằng $a$. Chứng minh rằng $\varepsilon$ là một đơn cấu, tương thích với tác động của $G$.

(b) Cho $A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G$ là một mở rộng của $G$ bởi $A$ sao cho $i(ga) = xi(a)x^{-1}$ nếu $a \in A, x \in E$ và $g = p(x)$. Cho $\rho$ là một ánh xạ $G \to E$ sao cho $p \circ \rho = \mathrm{Id}_G$. Với mọi $x \in E$, gọi $\phi_x$ là ánh xạ của $G$ vào $A$ sao cho

Chứng minh rằng Suy ra rằng ánh xạ $\Phi : E \to E_0$ xác định bởi là một đồng cấu làm cho biểu đồ sau giao hoán:

(c) Một $G$-trung bình trên $A$ là một đồng cấu

thỏa mãn hai điều kiện sau:

Cho $m$ là một $G$-trung bình trên $A$. Chứng minh rằng, nếu $\phi$ là một đồng cấu chéo và $a = m(\phi)$, thì $\phi = \theta_{-a}$ (xem Bài tập 7). Đặc biệt,

Chứng minh rằng ánh xạ $(\phi, g) \mapsto (m(\phi), g)$ là một đồng cấu của $E_0$ vào $A \times_{\tau} G$. Suy ra rằng mọi mở rộng $E$ của $G$ bởi $A$ thỏa mãn điều kiện trong (b) là đẳng cấu với $A \times_{\tau} G$ (dùng hợp thành $E \xrightarrow{\Phi} E_0 \to A \times_{\tau} G$) và do đó thừa nhận một tiết diện. Chứng minh rằng hai tiết diện như vậy được biến đổi từ cái này sang cái kia bởi một tự đẳng cấu trong của $E$ xác định bởi một phần tử của $A$ (dùng Bài tập 7 và sự kiện rằng $Z(G, A) = B(G, A)$).

(d) Giả sử rằng $G$ là hữu hạn có cấp $n$ và ánh xạ $\alpha \mapsto n\alpha$ là một tự đẳng cấu của $A$. Với mọi $\phi \in C(G, A)$, gọi $m(\phi)$ là phần tử duy nhất của $A$ sao cho

Chứng minh rằng $m$ là một $G$-trung bình trên $A$.

Điều này áp dụng đặc biệt khi $A$ là hữu hạn có cấp nguyên tố cùng nhau với $n$.