Exercice 15, § 7

Soit G un groupe de présentation $(\mathbf{t}, \mathbf{r})$, avec $\mathbf{t} = (t_i)_{i \in I}$ et $\mathbf{r} = (r_j)_{j \in J}$; on note F((T_i)_{i \in I}) le groupe libre F(I), et on pose $\mathbf{T} = (T_i)$. Soit d’autre part $\mathbf{x} = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille génératrice de G; on pose $F(A) = F((X_\alpha)_{\alpha \in A}), \mathbf{X} = (X_\alpha)$, et l’on note $R_\mathbf{x}$ l’ensemble des relateurs de $\mathbf{x}$; c’est un sous-groupe distingué de F(A). Pour tout $i \in I$, soit $\varphi_i(\mathbf{X})$ un élément de F(A) tel que $t_i = \varphi_i(\mathbf{x})$ dans G; pour tout $\alpha \in A$, soit $\psi_\alpha(\mathbf{T})$ un élément de F(I) tel que $x_\alpha = \psi_\alpha(\mathbf{t})$ dans G. Montrer que $R_\mathbf{x}$ est le sous-groupe distingué de F(A) engendré par les éléments $X_\alpha^{-1} \psi_\alpha(\varphi_i(\mathbf{X})_{i \in I})$ pour $\alpha \in A$, et $r_j(\varphi_i(\mathbf{X})_{i \in I})$ pour $j \in J$. (Si $R'_\mathbf{x}$ désigne le sous-groupe distingué de F(A) engendré par les éléments en question, on a $R'_\mathbf{x} \subset R_\mathbf{x}$; d’autre part, on montrera que l’homomorphisme $F(I) \to F(A)$ défini par les $\varphi_i$ donne, par passage au quotient, un homomorphisme $G \to F(A)/R'_\mathbf{x}$ réciproque de l’homomorphisme canonique $F(A)/R'_\mathbf{x} \to F(A)/R_\mathbf{x} = G.$