Bài tập 15, § 7

Cho G là một nhóm với biểu diễn $(\mathbf{t}, \mathbf{r})$, với $\mathbf{t} = (t_i)_{i \in I}$ và $\mathbf{r} = (r_j)_{j \in J}$; ký hiệu F((T_i)_{i \in I}) là nhóm tự do F(I), và đặt $\mathbf{T} = (T_i)$. Mặt khác, cho $\mathbf{x} = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ sinh của G; đặt $F(A) = F((X_\alpha)_{\alpha \in A}), \mathbf{X} = (X_\alpha)$, và ký hiệu $R_\mathbf{x}$ là tập hợp các quan hệ của $\mathbf{x}$; đó là một nhóm con chuẩn của F(A). Với mọi $i \in I$, cho $\varphi_i(\mathbf{X})$ là một phần tử của F(A) sao cho $t_i = \varphi_i(\mathbf{x})$ trong G; với mọi $\alpha \in A$, cho $\psi_\alpha(\mathbf{T})$ là một phần tử của F(I) sao cho $x_\alpha = \psi_\alpha(\mathbf{t})$ trong G. Bây giờ chứng minh rằng $R_\mathbf{x}$ là nhóm con chuẩn của F(A) sinh bởi các phần tử $X_\alpha^{-1} \psi_\alpha(\varphi_i(\mathbf{X})_{i \in I})$ với $\alpha \in A$, và $r_j(\varphi_i(\mathbf{X})_{i \in I})$ với $j \in J$. (Nếu $R'_\mathbf{x}$ ký hiệu nhóm con chuẩn của F(A) sinh bởi các phần tử đang xét, thì có $R'_\mathbf{x} \subset R_\mathbf{x}$; mặt khác, ta sẽ chứng minh rằng đồng cấu $F(I) \to F(A)$ xác định bởi các $\varphi_i$ cho, bằng cách chuyển qua thương, một đồng cấu $G \to F(A)/R'_\mathbf{x}$ nghịch đảo của đồng cấu chính tắc $F(A)/R'_\mathbf{x} \to F(A)/R_\mathbf{x} = G$.)