Exercice 16, § 7

Un groupe est dit de type fini (resp. de présentation finie) s’il admet une présentation $\langle (t_i)_{i \in I}, (r_j)_{j \in J} \rangle$ où I est un ensemble fini (resp. où I et J sont des ensembles finis). a) Soit G un groupe de présentation finie, et soit $\mathbf{x} = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille génératrice finie de G. Montrer qu’il existe une famille finie $\mathbf{s} = (s_k)_{k \in K}$ de relateurs de la famille $\mathbf{x}$ telle que $(\mathbf{x}, \mathbf{s})$ soit une présentation de G. (Utiliser l’exercice précédent.) b) Montrer qu’un groupe fini est de présentation finie. c) Donner un exemple de groupe de présentation finie ayant un sous-groupe qui n’est pas de type fini. d) Si G est un groupe de présentation finie, et H un sous-groupe distingué de G, montrer l’équivalence des propriétés suivantes: (i) G/H est de présentation finie. (ii). Il existe une partie finie X de G telle que H soit le sous-groupe distingué de G engendré par X. (iii) Si $(H_i)_{i \in I}$ est une famille filtrante croissante de sous-groupes distingués de G de réunion égale à H, il existe $i \in I$ tel que $H_i = H$. (Utiliser a) pour prouver que (i) entraîne (ii).) e) Si G est un groupe de présentation finie, montrer qu’il en est de même de $G/C^r(G)$ pour tout $r \geq 1$. (Utiliser I, p. 137, exerc. 15.) f) Soit $(G_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille de groupes, et soit $G = \prod_{\alpha \in A} G_\alpha$ le produit des $G_\alpha$. Montrer que G est de type fini (resp. de présentation finie) si et seulement si chacun des $G_\alpha$ est de type fini (resp. de présentation finie) et $G_\alpha = \{e\}$ pour tout $\alpha$ sauf un nombre fini d’indices.