Bài tập 16, § 7

Một nhóm được gọi là có kiểu hữu hạn (tương ứng, có trình bày hữu hạn) nếu nó thừa nhận một trình bày $\langle (t_i)_{i \in I}, (r_j)_{j \in J} \rangle$ trong đó I là một tập hợp hữu hạn (tương ứng, trong đó I và J là các tập hợp hữu hạn). a) Cho G là một nhóm có trình bày hữu hạn, và cho $\mathbf{x} = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ sinh hữu hạn của G. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một họ hữu hạn $\mathbf{s} = (s_k)_{k \in K}$ các hệ thức của họ $\mathbf{x}$ sao cho $(\mathbf{x}, \mathbf{s})$ là một trình bày của G. (Sử dụng bài tập trước.) b) Bây giờ chứng minh rằng một nhóm hữu hạn là có trình bày hữu hạn. c) Cho một ví dụ về một nhóm có trình bày hữu hạn có một nhóm con không có kiểu hữu hạn. d) Nếu G là một nhóm có trình bày hữu hạn, và H là một nhóm con chuẩn tắc của G, bây giờ chứng minh tính tương đương của các tính chất sau: (i) G/H là có trình bày hữu hạn. (ii). Tồn tại một tập con hữu hạn X của G sao cho H là nhóm con chuẩn tắc của G sinh bởi X. (iii) Nếu $(H_i)_{i \in I}$ là một họ tăng lọc các nhóm con chuẩn tắc của G có hợp bằng H, thì tồn tại $i \in I$ sao cho $H_i = H$. (Sử dụng a) để chứng minh rằng (i) suy ra (ii).) e) Nếu G là một nhóm có trình bày hữu hạn, bây giờ chứng minh rằng điều tương tự cũng đúng với $G/C^r(G)$ với mọi $r \geq 1$. (Sử dụng I, p. 137, exerc. 15.) f) Cho $(G_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các nhóm, và cho $G = \prod_{\alpha \in A} G_\alpha$ là tích của các $G_\alpha$. Bây giờ chứng minh rằng G có kiểu hữu hạn (tương ứng, có trình bày hữu hạn) khi và chỉ khi mỗi $G_\alpha$ có kiểu hữu hạn (tương ứng, có trình bày hữu hạn) và $G_\alpha = \{e\}$ với mọi $\alpha$ trừ một số hữu hạn các chỉ số.