Exercice 17, § 7

a) Montrer que tout sous-groupe d’un groupe nilpotent de type fini est de type fini.

(Dans le cas commutatif, raisonner par récurrence sur le nombre minimum de générateurs du groupe; procéder ensuite par récurrence sur la classe de nilpotence du groupe.) Donner un exemple de groupe résoluble de type fini contenant un sous-groupe qui ne soit pas de type fini. b) Montrer que tout groupe nilpotent de type fini est de présentation finie. (Ecrire le groupe sous la forme F(X)/R, avec X fini, et choisir r tel que R ⊃ Cr(F(X)); utiliser a) pour montrer que R/Cr(F(X)) est de type fini; observer que F(X)/Cr(F(X)) est de présentation finie, cf. exerc. 16.)