Bài tập 17, § 7

(a) Chứng minh rằng mọi nhóm con của một nhóm lũy linh sinh hữu hạn đều sinh hữu hạn. (Trong trường hợp giao hoán, lập luận bằng quy nạp theo số tối thiểu các phần tử sinh của nhóm; sau đó tiến hành quy nạp theo lớp lũy linh của nhóm.)

Cho một ví dụ về một nhóm giải được sinh hữu hạn chứa một nhóm con không sinh hữu hạn.

(b) Chứng minh rằng mọi nhóm lũy linh sinh hữu hạn đều trình bày hữu hạn. (Viết nhóm dưới dạng F(X)/R, với X hữu hạn, và chọn r sao cho $R \supset C^r(F(X))$; dùng (a) để chứng minh rằng $R/C^r(F(X))$ sinh hữu hạn; nhận xét rằng $F(X)/C^r(F(X))$ được trình bày hữu hạn, xem Bài tập 16.)