Exercice 18, § 7

Soit S une partie symétrique d’un groupe G. Deux éléments g1, g2 de G sont dits S-voisins si g2−1g1 appartient à S. Une suite (g1, ..., gn) d’éléments de G est appelée une S-chaîne si gi et gi+1 sont S-voisins pour 1 ≤ i ≤ n − 1 : les éléments g1 et gn sont appelés respectivement l’origine et l’extrémité de la chaîne. a) Soit Y une partie de G, et soit R_Y\{a, b\} la relation « il existe une S-chaîne contenue dans Y d’origine a et d’extrémité b ». Montrer que R_Y est une relation d’équivalence dans Y (cf. E, II, p. 52, exerc. 10); les classes d’équivalence pour cette relation sont appelées les S-composantes connexes de Y. On dit que Y est S-connexe s’il possède au plus une composante connexe. b) Montrer que G est S-connexe si et seulement si S engendre G. c) On suppose qu’aucun élément s ∈ S ne vérifie la relation s² = e; on choisit une partie X de S telle que S soit réunion disjointe de X et X⁻¹. Montrer l’équivalence des conditions suivantes: (i) La famille X est libre. (ii) Il n’existe pas de S-chaîne (g₁, ..., gₙ) dans G, formée d’éléments distincts, en nombre n ≥ 3, telle que g₁ et gₙ soient S-voisins. (Utiliser l’exerc. 13 de I, p. 145.)