Bài tập 18, § 7

Cho S là một tập con đối xứng của một nhóm G. Hai phần tử g1, g2 của G được gọi là các S-láng giềng nếu g2−1g1 thuộc S. Một dãy (g1, ..., gn) gồm các phần tử của G được gọi là một S-xích nếu gi và gi+1 là các S-láng giềng với 1 ≤ i ≤ n − 1: các phần tử g1 và gn lần lượt được gọi là gốc và đầu mút của xích. (a) Cho Y là một tập con của G, và cho R_Y\{a, b\} là quan hệ “tồn tại một S-xích được chứa trong Y có gốc a và đầu mút b”. Bây giờ chứng minh rằng R_Y là một quan hệ tương đương trong Y (xem E, II, p. 52, bài tập 10); các lớp tương đương đối với quan hệ này được gọi là các thành phần S-liên thông của Y. Người ta nói rằng Y là S-liên thông nếu nó có nhiều nhất một thành phần liên thông. (b) Bây giờ chứng minh rằng G là S-liên thông khi và chỉ khi S sinh ra G. (c) Giả sử rằng không có phần tử s ∈ S nào thỏa mãn quan hệ s² = e; hãy chọn một tập con X của S sao cho S là hợp rời nhau của X và X⁻¹. Bây giờ chứng minh tính tương đương của các điều kiện sau: (i) Họ X là tự do. (ii) Không tồn tại một S-xích (g₁, ..., gₙ) trong G, được tạo thành bởi các phần tử phân biệt, có số phần tử n ≥ 3, sao cho g₁ và gₙ là các S-láng giềng. (Dùng bài tập 13 của I, p. 145.)