Exercice 19, § 7

Soient X un ensemble, G = F(X) le groupe libre construit sur X, et S = X ∪ X⁻¹. a) Si g ∈ G, on appelle décomposition réduite de g toute suite (s₁, ..., sₙ) d’éléments de S telles que g = s₁ ... sₙ et sᵢsᵢ₊₁ ≠ e pour 1 ≤ i < n. Montrer que tout élément de G admet une décomposition réduite et une seule; l’entier n est la longueur de g (cf. I, p. 147, exerc. 26). b) Soit Y une partie de G contenant e. Montrer l’équivalence des conditions suivantes: b₁) Y est S-connexe (cf. exerc. 18). b₂) Pour tout g ∈ Y, si (s₁, ..., sₙ) est la décomposition réduite de g, on a s₁ ... sᵢ ∈ Y pour 1 ≤ i ≤ n. c) Soient Y₁ et Y₂ deux parties S-connexes non vides de G, telles que Y₁ ∩ Y₂ = ∅. Montrer qu’il existe au plus un couple (y₁, y₂) ∈ Y₁ × Y₂ tel que y₁ et y₂ soient S-voisins. Il en existe un si et seulement si Y₁ ∪ Y₂ est S-connexe; on dit alors que Y₁ et Y₂ sont voisins. d) Soit (Y₁, ..., Yₙ) une suite de parties S-connexes non vides, disjointes, de G. On suppose que Yᵢ et Yᵢ₊₁ sont voisines pour 1 ≤ i < n. Montrer que, si n ≥ 3, Y₁ et Yₙ ne sont pas voisines.