Bài tập 19, § 7

Cho X là một tập hợp, G = F(X) là nhóm tự do được xây dựng trên X, và S = X ∪ X⁻¹. a) Nếu g ∈ G, một phân tích rút gọn của g được gọi là bất kỳ dãy (s₁, ..., sₙ) các phần tử của S sao cho g = s₁ ... sₙ và sᵢsᵢ₊₁ ≠ e đối với 1 ≤ i < n. Chứng minh rằng mọi phần tử của G thừa nhận một và chỉ một phân tích rút gọn; số nguyên n là độ dài của g (xem I, p. 147, bài tập 26). b) Cho Y là một tập con của G chứa e. Chứng minh tính tương đương của các điều kiện sau: b₁) Y là S-liên thông (xem bài tập 18). b₂) Với mọi g ∈ Y, nếu (s₁, ..., sₙ) là phân tích rút gọn của g, thì s₁ ... sᵢ ∈ Y đối với 1 ≤ i ≤ n. c) Cho Y₁ và Y₂ là hai tập con khác rỗng, S-liên thông của G, sao cho Y₁ ∩ Y₂ = ∅. Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một cặp (y₁, y₂) ∈ Y₁ × Y₂ sao cho y₁ và y₂ là các láng giềng S. Có một cặp như vậy khi và chỉ khi Y₁ ∪ Y₂ là S-liên thông; trong trường hợp này người ta nói rằng Y₁ và Y₂ là các láng giềng. d) Cho (Y₁, ..., Yₙ) là một dãy các tập con khác rỗng, rời nhau, S-liên thông của G. Giả sử rằng Yᵢ và Yᵢ₊₁ là các láng giềng đối với 1 ≤ i < n. Chứng minh rằng, nếu n ≥ 3, Y₁ và Yₙ không là các láng giềng.